一、考纲核心要点解析

港澳台联考数学考纲（第四版）以 “基础性、综合性、应用性” 为核心导向，覆盖代数、三角、解析几何、立体几何、统计与概率五大模块。通过对样卷的深入分析，可将高频考点归纳如下：

（一） 代数与函数：重难点集中区 

1.  函数性质与图像 核心考点 ：一次函数、二次函数、指数/对数函数的图像变换（平移、对称、伸缩）。

a.  样卷例题 （选择题第3题）： 题目 ：函数y=sinx+3 cosx的最大值是？

解析 ：利用辅助角公式化简为2sin(x+3π )，最大值为2 （选项A）。

2.  数列递推与求和 核心考点 ：等差/等比数列的通项公式、递推关系转化。

a.  样卷例题 （解答题第18题）： 题目 ：数列{an }满足an+1 =2n−14(n+1) (Sn −1)，求通项公式。

解析 ：通过构造等比数列{2n−1Sn −1 }，得出通项an =4n⋅3n−1。

（二） 三角函数：公式记忆与图像分析 

1.  恒等变换与解三角形 核心考点 ：和差公式、正余弦定理的应用。

a.  样卷例题 （填空题第12题）： 题目 ：函数f(x)=ex−2x的最小值为______。

解析 ：求导得f′(x)=ex−2，令导数为0解得x=ln2，代入得最小值 2−2ln2 。

2.  向量与坐标系 核心考点 ：向量坐标运算、三点共线条件。

a.  样卷例题 （选择题第5题）： 题目 ：“x=1,y=−2”是“a⊥b”的什么条件？

解析 ：计算a⋅b=x+1+y，当x=1,y=−2时点积为0，故为充分条件 （选项B）。

（三） 解析几何：计算量大，技巧性强 

1.  直线与圆锥曲线 核心考点 ：联立方程求交点、韦达定理应用。

a.  样卷例题 （解答题第19题）： 题目 ：椭圆2x2 +y2=1的左焦点为F，过F的直线x−y+1=0交椭圆于B、P两点，求P点坐标。

解析 ：联立方程得交点横坐标x=0或x=−34 ，排除B点后得P点坐标为(−34 ,−31 )。

2.  空间向量与坐标系 核心考点 ：空间向量夹角计算、坐标平移。

a.  样卷例题 （填空题第15题）： 题目 ：二面角为90°，正方形ABCD与等边三角形ABF分别在两平面内，求异面直线AC与BF的夹角余弦值。

解析 ：建立空间直角坐标系，利用向量点积公式计算得余弦值为 42 。

（四） 立体几何：空间想象与逻辑推理 

1.  几何体体积与表面积 核心考点 ：柱、锥、台体的体积公式。

a.  样卷例题 （解答题第16题）： 题目 ：△ABC中，A=3π ，且AC=ABtanB，求sinA+sinB+sinC的值。

解析 ：利用正弦定理得B=12π ，代入得结果为 23 +6 。

2.  平行与垂直关系 核心考点 ：线面平行/垂直的判定定理。

a.  真题链接 （2022年压轴题）： 题目 ：证明三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且PA=AB=BC=CA=2，求二面角P-BC-A的正弦值。

解析 ：建立坐标系，利用法向量夹角公式计算得正弦值为 36 。

（五） 统计与概率：贴近生活实际 

1.  条件概率与独立事件 核心考点 ：乘法公式、全概率公式。

a.  样卷例题 （解答题第17题）： 题目 ：工人使用甲、乙仪器的概率分别为0.6和0.5，求同时使用的概率。

解析 ：若事件独立，P(AB)=0.6×0.5=0.3。

2.  统计图表分析 核心考点 ：频率分布直方图、平均数/方差计算。

a.  真题链接 （2021年解答题）： 题目 ：根据抽检数据计算某产品合格率的置信区间。

解析 ：利用正态分布近似，计算得置信区间为 [0.82, 0.98] 。

二、样卷全览与命题趋势

（一） 题型分布与分值占比 

（二） 高频考点与命题趋势 

1.  函数与导数 趋势 ：导数与极值、零点问题结合图像分析（如2023年压轴题）。

a.  真题示例 ： 题目 ：已知f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极值，求a与b的关系。

2.  解析几何 趋势 ：向量条件与圆锥曲线结合（如2022年真题第18题）。

a.  真题示例 ： 题目 ：已知椭圆4x2 +3y2 =1，点P在椭圆上，且PF1 ⋅PF2 =0，求△PF₁F₂的面积。

3.  数列与递推 趋势 ：递推数列转化为等差/等比数列（如样卷第18题）。

a.  真题示例 ： 题目 ：数列满足an+1 =2an +3n，且a1 =1，求数列通项。

三、高分备考策略

（一） 分阶段复习计划 

1.  基础夯实期（4个月） 任务 ：完成考纲所有知识点的第一轮学习。

a.  方法 ：按模块整理思维导图（如函数图像对比、三角公式汇总）。

i.  配套练习《港澳台联考数学基础题库》，确保公式记忆准确。

2.  专题突破期（3个月） 任务 ：攻克压轴题与易错题。

a.  方法 ：分类整理高频题型（如“导数与极值”“立体几何动点问题”）。

i.  研究近五年真题，总结命题规律（如2023年解答题均涉及向量应用）。

3.  冲刺模拟期（3个月） 任务 ：提升解题速度与考场适应力。

a.  方法 ：全真模拟考试（严格计时，规范答题步骤）。

i.  整理错题本，标注错误原因（如计算失误、审题不清）。

（二） 解题技巧与时间分配 

1.  选择题提速技巧 排除法 ：利用选项矛盾快速锁定答案（如样卷第1题集合交集）。

a.  特殊值法 ：代入边界值验证（如函数奇偶性判断）。

b.  数形结合 ：画图辅助解题（如二次函数图像分析）。

2.  解答题规范书写 步骤分必争 ：即使结果错误，关键步骤（如导数求导过程）仍可得分。

a.  几何题标注 ：在图中标记已知条件（如角平分线、垂直关系）。

b.  概率题分步说明 ：明确事件独立性或互斥性的判断依据。

（三） 易错点警示 

1.  代数运算陷阱 复数运算忽略虚数单位（如样卷第2题分母未有理化）。

a.  方程求解后未检验根的合理性（如分式方程增根）。

2.  几何空间想象误区 误判线面位置关系（如忽视“异面直线”与“相交直线”的差异）。

a.  向量坐标计算混淆方向（如起点与终点顺序颠倒）。

3.  统计概率误区 忽视样本容量对频率的影响（如小样本下频率未必趋近概率）。

a.  条件概率与联合概率混淆（如误用P(A∣B)=P(A)）。

四、结语

港澳台联考数学注重对数学本质的理解与应用能力的考查。考生需以考纲为纲，通过“基础→专题→冲刺”的阶梯式复习，结合真题演练与错题反思，逐步提升解题能力。尤其需关注函数导数、解析几何等核心模块的深度挖掘，同时强化计算准确性与答题规范性，方能从容应对考试挑战，冲击高分！

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